Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen.
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Voraussetzungen anzeigen
Konsequenzen anzeigen
Lineare Gleichungen
allgemeine Form: \(ax
+ b = 0\) with \(a\neq
0\)
zugehörige Funktion: Gerade (\(f(x) := ax + b\))
Lösungen: Genau eine, nämlich \(x=- \, \frac{b}{a}\) (dort schneidet die
Gerade die x-Achse)
Quadratische
Gleichungen
allgemeine Form: \(ax^2 + bx + c = 0\) mit \(a \neq 0\)
zugehörige Funktion: Parabel
Lösungen: keine, eine oder zwei (Schnittstellen
der Parabel mit der x-Achse)
Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine quadratische Gleichung zu
lösen.
Die Gleichung \(x^2 + px + q = 0\)
hat die Lösungen
\[x_{\pm} = - \frac{p}{2} \pm
\sqrt{\frac{p^2}{4} - q}.\]
Je nachdem, ob der Ausdruck unter der Wurzel negativ, null oder
positiv ist, gibt es keine, genau eine oder zwei Lösungen.
Lösen
quadratischer Gleichungen: quadratische Ergänzung
Idee: \(a x^2 + bx + c = 0\) mit
Hilfe der ersten binomischen Formel umformen zu \(a(x - x_0)^{2} + y_0 = 0\). Daraus ergibt
sich
\[x_{1,2} = x_0 \pm
\sqrt{\frac{-y_0}{a}}.\] Je nachdem, ob der Ausdruck unter der
Wurzel negativ, null oder positiv ist, gibt es keine, genau eine oder
zwei Lösungen.
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