Viele Prozesse sind dynamisch und lassen sich nicht durch
statische Gleichungen oder Funktionen beschreiben.
Naturwissenschaftlich beobachtbare Größen hängen von den
Änderungsraten anderer Größen ab:
Die Geschwindigkeit ist die Änderung der Wegstrecke pro
Zeit.
Der elektrische Strom ist die Änderung der Ladungen pro
Zeit.
Der Impuls ist die Änderung der kinetischen Energie pro
Zeit.
Die Diffusion eines Stoffes hängt von der Änderung seiner
Konzentration pro Wegstrecke ab.
Die Beschreibung solcher Abhängigkeiten erfordert die
Beschreibung von Änderungsraten.
Die Änderungsraten einer Größe lassen sich durch
Tangenten an der Kurve darstellen.
Aber: Eine Gerade ist nur durch zwei Punkte
eindeutig definiert.
Frage: Wie bestimmt man eine Tangente, die die Kurve
nur an einem Punkt berührt?
Antwort: Durch eine Folge von
Sekanten\(=\)
Geraden, die die Kurve in zwei Punkten schneidet
Frage: Was haben Sekanten mit der Tangente zu tun?
Oder: Was bedeutet es, dass die Folge der Sekanten die Tangente als
Grenzwert hat?
Beispiel 1. Sei \(f(x):=\frac{1}{2}x^{2}\). Die Sekanten
durch die Punkte \(A=\left(\frac{1}{2},f\left(\frac{1}{2}\right)\right)\)
und \(\left(\frac{1}{2}+h,f\left(\frac{1}{2}+h\right)\right)\)
für \(h=1\), \(h=0.5\),
\(h=0.18\) are
Die Tangente im Punkt \(A=\left(\frac{1}{2},f\left(\frac{1}{2}\right)\right)\)
ist
Beobachtung: Die Folge der Sekanten nähert sich für
kleiner werdendes \(h\) der Tangente an
den Graphen von \(f\) im Punkt \(A\) an.
Frage: Wie berechnet man die Steigung einer
Sekante?
Definition 2. Die Sekantensteigungen werden auch
Differenzenquotienten genannt: \[m_{S}(z):=\frac{f(z)-f(x)}{z-x}\] Der
Grenzwert der Differenzenquotienten ist zugleich die gesuchte Steigung
der Tangente an der Stelle \(x\).
Beispiel 3.
Sei \(f(x):= ax+b\). Dann ist
\[m_{s}(z)=\frac{\left(az+b\right)-\left(ax+b\right)}{z-x}=\frac{az+b-ax-b}{z-x}=\frac{a\left(z-x\right)}{z-x}=a\]
und es gilt \(\lim\limits_{z\rightarrow
x}m_{S}(z)=a.\)
Sei \(f(x):= ax^{2}\). Dann ist
\[m_{s}(z)=\frac{az^{2}-ax^{2}}{z-x}=\frac{a\left(z^{2}-x^{2}\right)}{z-x}=\frac{a\left(z+x\right)\left(z-x\right)}{z-x}=a\left(z+x\right)\]
und es gilt \(\lim\limits_{z\rightarrow
x}m_{S}(z)=\lim_{z\rightarrow x}a\left(z+x\right)=2ax.\)
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