Geometrie am Dreieck

Klicken Sie auf einen Pfeil, um eine Beschreibung der Verbindung zu erhalten!

Klicken Sie auf einen Pfeil, um eine Beschreibung der Verbindung zu erhalten!

Rechtwinkliges Dreieck

Das Verhältnis dieser Seiten zueinander definiert die trigonometrischen Funktionen.

\[\begin{aligned} \sin(\alpha) & :=\frac{{\text{Gegenkathete }}}{{\text{Hypotenuse}}}\\ \cos(\alpha) & :=\frac{{\text{Ankathete }}}{{\text{Hypotenuse}}}\\ \tan(\alpha) & :=\frac{{\text{Gegenkathete }}}{{\text{Ankathete }}}\\ \cot(\alpha) & :=\frac{{\text{Ankathete }}}{{\text{Gegenkathete }}} \end{aligned}\]

Satz des Pythagoras: \(a^2+b^2=c^2\)

Allgemeine Dreiecke

Auf Grundlage unserer Definition können wir z.B. den Sinus eines Winkels in einem allgemeinen Dreieck berechnen, indem wir rechtwinklige Hilfsdreiecke einzeichnen:

Weitere hilfreiche Resultate, um Seitenlängen oder Winkel in allgemeinen Dreiecken zu berechnen:

Sinussatz: \[\frac{\sin (\alpha)}{a} = \frac{\sin(\beta)}{b} = \frac{\sin(\gamma)}{c}\]

Kosinussatz: \[a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma) = c^2\]

Einheitskreis: Sinus- und Cosinuswerte

Einheitskreis in der Ebene ist ein Kreis mit Radius \(1\) um den Punkt \((0,0)\).

Das eingezeichnete Dreieck hat einen rechten Winkel und die Sinus- und Cosinuswerte sind ablesbar:

• Sinuswerte von \(\alpha\) auf der y-Achse

• Cosinuswerte von \(\alpha\) auf der x-Achse