Vektoren
Anschauung und mathematische Definitionen.
Auf dieser Seite
Entdecken Sie Brücken #
Klicken Sie auf einen Pfeil, um eine Beschreibung der Verbindung zu erhalten!
Klicken Sie auf einen Pfeil, um eine Beschreibung der Verbindung zu erhalten!
Voraussetzungen anzeigen
Konzept | Inhalt |
---|
Konsequenzen anzeigen
Konzept | Inhalt |
---|---|
Anschauliche Vektorrechnung | Komponentenweise Addition und skalare Multiplikation von Vektoren. |
Lernen Sie Vektoren #
Was ist ein Vektor?
Die Physik unterscheidet zwischen skalaren und vektoriellen Größen. Skalare Größen sind durch einen Zahlwert (mit Einheit) charakterisiert. Vektorielle Größen sind durch einen Zahlwert (mit Einheit) und eine Richtung charakterisiert. Vektorielle Größen werden oft durch Pfeile (Vektoren) dargestellt, deren Länge den Zahlwert repräsentiert. In der Analytischen Geometrie nutzen wir Vektoren unter anderem zur Beschreibung von
geometrischen Objekten (Geraden, Ebenen, Dreiecke etc.)
geometrischen Operationen (Drehungen, Spiegelungen etc.)
Vektoren in der Ebene
Ebene: zwei Koordinatenachsen (bspw. \(x\)- und \(y\)-Achse) schneiden sich im Nullpunkt (Ursprung)
Ein Vektor in dieser Ebene ist ein Pfeil, von dem wir nur die Ausdehnung in \(x\)- und \(y\)-Richtung kennen.
Beispiel 1. \(\mathbf{v}:=\begin{pmatrix} 3\\-2\end{pmatrix}\) ist ein Vektor, der bei einem beliebigen Fußpunkt startet und dann \(3\) Schritte in \(x\)-Richtung sowie \(-2\) Schritte in \(y\)-Richtung läuft.
Vektoren im \(3\)-dimensionalen Raum
\(3\)-dim Raum: drei Koordinatenachsen (bspw. \(x_1\)-, \(x_2\)- und \(x_3\)-Achse) schneiden sich im Nullpunkt (Ursprung)
Ein Vektor in diesem System ist ein Pfeil, von dem wir nur die Ausdehnung in \(x_1\)-, \(x_2\)- und \(x_3\)-Richtung kennen.
Beispiel 2. \(\mathbf{v}:=\begin{pmatrix} 1\\3\\2\end{pmatrix}\) verläuft 1 Schritt in \(x_1\)-Richtung, 3 Schritte in \(x_2\)-Richtung und 2 Schritte in \(x_3\)-Richtung.
Vektoren im \(\mathbb{R}^n\)
Definition 3. Es sei \(n\in \mathbb{N}\). Jedes Objekt \(\mathbf{v}\) der Form
\[\mathbf{v}= \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} ~~ \text{ mit }v_1,v_2,\ldots,v_n\in\mathbb{R}\] wird reeller Vektor genannt.
Die Menge aller solcher Vektoren bezeichnen wir mit \(\mathbb{R}^n\).
Die Einträge \(v_1,v_2,\ldots,v_n\) werden Komponenten genannt.
In unterschiedlichen Vorlesungen werden sie unterschiedliche Notationen sehen: \(\mathbf{v}\), \(\vec{v}\), \(\underline{v}\) etc.
Exercise 4. Welche der dargestellten Vektoren sind identisch? Geben Sie deren Komponentendarstellung an.
Punkt und Ortsvektor
Ein Punkt \(P\) wird normalerweise durch ein Tupel \((v_1,v_2,\ldots,v_n)\) beschrieben.
Solch einen Punkt können wir auch mit dem zugehörigen Vektor
\[\mathbf{p} = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}\] identifizieren. In diesem Fall nennen wir \(\mathbf{p}\) den Ortsvektor von \(P\).
Definition 5. Es sei \(O\) der Ursprung (des Koordinatensystems). Ist \(P\) ein Punkt, so wird der Vektor, der von \(O\) zu \(P\) führt, der Ortsvektor von \(P\) genannt. Häufig werden Punkte mit ihren Ortsvektoren identifiziert.
Vektor zwischen zwei Punkten
Sind zwei Punkte \(A\) und \(B\) gegeben, so ergibt sich der Vektor \(\mathbf{v}_{AB}\), der von \(A\) nach \(B\) führt, indem man den Ortsvektor von \(A\) vom Ortsvektor von \(B\) subtrahiert.
Beispiel 6. Der Vektor, der von \(A:=(2,4,-6)\) zu \(B:=(3,-1,9)\) führt, ist
\[\mathbf{v}_{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 15 \end{pmatrix}\]
Länge eines Vektors
Definition 7. Gegeben sei ein beliebiger Vektor
\(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^n\). Dann ist die Länge des Vektors gleich
\[\| \mathbf{v} \| := \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2}\, .\]
Beispiel 8. Die Länge des Vektors
\(\mathbf{v}:=\begin{pmatrix} 4\\-3 \end{pmatrix}\) ist \(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5\).
Diskutieren Sie Ihre Fragen, indem Sie unten hineinschreiben.
Lösen Sie die WeBWorK-Aufgabe #
The data for the interactive network on this webpage was generated with pntfx Copyright Fabian Gabel and Julian Großmann. pntfx is licensed under the MIT license. Visualization of the network uses the open-source graph theory library Cytoscape.js licensed under the MIT license.