Lineare Gleichungssysteme: Verschiedene Sichtweisen

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Erinnerung: Lineare Gleichungssysteme

Es seien \(m,n\in\mathbb{N}\). Ein lineares Gleichungssystem (LGS) in den Variablen \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) ist von der Form

\[\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n & = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n & = b_2\\ & \vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n & = b_m ~ . \end{aligned}\] Dabei sind \(a_{ij}\) und \(b_i\) (meist reelle) Zahlen. Eine Belegung von \(x_1,\ldots,x_n\) mit Werten, sodass alle Gleichungen zugleich erfüllt sind, wird Lösung des Gleichungssystems genannt. Solch eine Belegung geben wir als Vektor an.

LGS: Zeilensicht

Gleichungen beschreiben

• Geraden (\(\mathbb{R}^2\))

• Ebenen (\(\mathbb{R}^3\))

• Hyperebenen (\(\mathbb{R}^n\))

Lösungsmenge ist deren Schnittmenge.

LGS: Spaltensicht

\[\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n & = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n & = b_2\\ & \vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n & = b_m \end{aligned}\]

\[\Downarrow \text{umschreiben}\]

\[\begin{aligned} {\begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}} x_1 + { \begin{pmatrix} a_{12}\\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix}} x_2 + \ldots + { \begin{pmatrix} a_{1n}\\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix}} x_n = { \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix}} \end{aligned}\]