Ebenen darstellen: Parameterform
Darstellung einer Ebene durch einen Punkt und zwei Vektoren mit unterschiedlichen Richtungen.
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Idee: Eine Ebene ist eindeutig festgelegt, wenn wir einen Punkt und zwei Vektoren, die nicht denselben Richtungssinn haben, innerhalb der Ebene kennen.
Definition 1. Jede Ebene im \(\mathbb{R}^3\) lässt sich in der folgenden Form schreiben:
\[E=\left\{\mathbf{p}+\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}:\ \lambda,\mu\in\mathbb{R}\right\} = \mathbf{p} + \text{Span}(\mathbf{a},\mathbf{b}),\] wobei die Punkte auf \(E\) durch ihre Ortsvektoren identifiziert werden.
Diese Darstellung heißt Parameterform.
Beispiel 2. Im \(\mathbb{R}^3\) gibt es genau eine Ebene \(E\), auf der die Punkte \(R:=(1,1,1)\), \(S:=(1,3,2)\) und \(T:=(-1,4,3)\) liegen. Man bestimme eine Parameterform von \(E\).
ein Stützvektor: \(\mathbf{p}=\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}\)
mögliche Spannvektoren: \(\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}\) und \(\mathbf{b}= \begin{pmatrix} -2\\3\\2 \end{pmatrix}\)
Eine Parameterform von \(E\) ist:
\[\begin{aligned} E & = \left\{\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -2\\3\\2 \end{pmatrix}:\ \lambda,\mu\in\mathbb{R} \right\} \\ & = \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + \operatorname{Span}\left( \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2\\3\\2 \end{pmatrix} \right)~ . \end{aligned}\]
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