Abstand zwischen Punkt und Ebene
Wir berechnen den Abstand über die Hesse-Normalform.
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Hesse-Normalform und Abstand
Definition 1. Eine Normalform \(\left\{\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3:\ \langle \mathbf{v}-\mathbf{p},\mathbf{n} \rangle=0 \right\}\) einer Ebene wird Hesse-Normalform genannt, falls die Länge von \(\mathbf{n}\) gleich 1 ist. (\(\|n\|=1\))
Bemerkung: Eine Normalform lässt sich stets in eine HNF überführen, indem man den vorliegenden Normalenvektor durch dessen Länge teilt.
Beispiel 2. Gegeben sei die Ebene
\[E:=\left\{\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3:\ \left\langle \mathbf{v} - {\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}}, {\begin{pmatrix} 2\\-2\\1 \end{pmatrix}}\right\rangle = 0\right\}.\] Die vorliegende Darstellung ist in Normalform, aber nicht in Hesse-Normalform, da der Normalenvektor
\(\mathbf{n}={ \begin{pmatrix} 2\\-2\\1 \end{pmatrix}}\) die Länge \(\|\mathbf{n}\|=3\) hat.
Ein Normalenvektor mit Länge 1 ist somit
\(\frac{1}{3}\mathbf{n} = {\begin{pmatrix} 2/3 \\ -2/3 \\ 1/3 \end{pmatrix}}\). Eine Hesse-Normalform ist schließlich
\[E=\left\{\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3:\ \left\langle \mathbf{v} - {\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}}, { \begin{pmatrix} 2/3\\-2/3\\1/3 \end{pmatrix}}\right\rangle = 0\right\}.\]
Abstand Punkt/Ebene
Sind ein Punkt (Ortsvektor) \(\mathbf{q}\) und eine Ebene in Hesse-Normalform
\(E=\left\{ \mathbf{v} \in \mathbb{R}^3:\ \langle \mathbf{v} - \mathbf{p}, \mathbf{n} \rangle= 0 \right\}\) gegeben, ist der Abstand zwischen \(\mathbf{q}\) und \(E\) gleich
\[\left| \langle \mathbf{q} - \mathbf{p}, \mathbf{n} \rangle \right|.\]
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