Verschiedene Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme.
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Voraussetzungen anzeigen
Konsequenzen anzeigen
Lineare
Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen lösen
Gleichsetzungsverfahren: Beim
Gleichsetzungsverfahren werden 2 Gleichungen nach derselben Variable
umgestellt und die resultierenden Terme gleichgesetzt. Es entsteht somit
eine Gleichung, die eine der vorhandenen Variablen nicht
enthält.
Einsetzungsverfahren: Beim Einsetzungsverfahren
wird eine Gleichung nach einer Variable umgestellt und diese dann in den
anderen Gleichungen ersetzt. Es entstehen somit Gleichungen, die eine
der vorhandenen Variablen nicht enthalten.
Graphisches Lösen (2 Variablen): Beim
graphischen Lösen eines linearen Gleichungssystems mit 2 Variablen
werden die Gleichungen als Geraden verbildlicht. Die Lösungsmenge des
Gleichungssystems entspricht dann der Schnittmenge aller
Geraden.
Eliminationsverfahren: Beim
Eliminationsverfahren (Additionsverfahren) werden zwei Gleichungen (oder
Vielfache davon) addiert/subtrahiert, sodass mindestens eine Variable
eliminiert wird.
Beispiel 1. Die Lösung des linearen
Gleichungssystems \[\begin{array}{rrrrr}
4x_1 & - & 2x_2 & = & 6\\
2x_1 & + & x_2 & = & 5
\end{array}\] mit den zwei Variablen \(x_1\) und \(x_2\) ist \[x_1
= -1 \qquad \text{und} \qquad x_2=3.\]
Lösbarkeit:
Anzahl Lösungen
Es gibt 3 mögliche Schnittmengen für Geraden:
Allgemein gilt sogar Folgendes:
Jedes lineare Gleichungssystem hat entweder (i) genau eine Lösung
oder (ii) keine Lösung oder (iii) unendlich viele Lösungen.
Größere lineare
Gleichungssysteme lösen
Beobachtungen:
Die Lösungsmenge ändert sich nicht, wenn die Reihenfolge der
Gleichungen getauscht wird.
Die Lösungsmenge ändert sich nicht, wenn genau eine Zeile
(mehrfach) von anderen Zeilen abgezogen wird.
Rechenrezept:
Beispiel 2. Wir bestimmen die eindeutige Lösung des
folgenden linearen Gleichungssystems:
\[\begin{array}{lrrrrrll}
I: & 1x_1 & + & 3x_2 & - & 3x_3 & = ~ 3 & \\
II: & 2x_1 & + & 7x_2 & - & 5x_3 & = ~ 4 &
-2\cdot I\\
III: & -1x_1 & + & 1x_2 & + & 9x_3 & = ~ -13
& +1 \cdot I
\\ \\
I: & 1x_1 & + & 3x_2 & - & 3x_3 & = ~ 3 &\\
II: & 0x_1 & + & 1x_2 & + & 1x_3 & = ~ -2
&\\
III: & 0x_1 & + & 4x_2 & + & 6x_3 & = ~ -10
& -4\cdot II
\\ \\
I: & 1x_1 & + & 3x_2 & - & 3x_3 & = ~ 3\\
II: & 0x_1 & + & 1x_2 & + & 1x_3 & = ~ -2
&\\
III: & 0x_1 & + & 0x_2 & + & 2x_3 & = ~ -2
\end{array}\] Durch Rückwärtseinsetzen erhalten wir die Lösung:
\[x_3 = -1, \qquad x_2 = -1, \qquad x_1 =
3.\]
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