Über den Zusammenhang zwischen Linearkombinationen von Vektoren und linearen Gleichungssystemen.
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Linearkombination
\(\rightarrow\) Lineares
Gleichungssystem
Eine häufig in der Linearen Algebra auftretende Frage ist:
Lässt sich ein gegebener Vektor \(\mathbf{v}\) als Linearkombination anderer
Vektoren \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots\)
schreiben?
\[\begin{pmatrix}
8\\17\\0
\end{pmatrix}
=
\mathbf{x_1}
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}
+
\mathbf{x_2}
\begin{pmatrix}
-3\\-5\\5
\end{pmatrix}
+
\mathbf{x_3}
\begin{pmatrix}
5\\9\\-4
\end{pmatrix}\] Dies entspricht der Frage, ob ein gewisses
lineares Gleichungssystem lösbar ist:
\[\begin{array}{rrrrrrr}
8 & = & 1x_1 & - & 3x_2 & + & 5x_3 \\
17 & = & 2x_1 & - & 5x_2 & + & 9x_3 \\
0 & = & -1x_1 & + & 5x_2 & - & 4x_3
\end{array}\]
Lineares
Gleichungssystem
Definition 1. Es seien \(m,n\in\mathbb{N}\). Ein lineares
Gleichungssystem (LGS) in den Variablen \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) ist von der
Form
\[\begin{aligned}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n & = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n & = b_2\\
& \vdots\\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n & = b_m ~ .
\end{aligned}\] Dabei sind \(a_{ij}\) und \(b_i\) (meist reelle) Zahlen.
Eine Belegung von \(x_1,\ldots,x_n\) mit Werten, sodass alle
Gleichungen zugleich erfüllt sind, wird Lösung des
Gleichungssystems genannt. Solch eine Belegung geben wir als Vektor
an.
Beispiel 2. Das System
\[\begin{array}{rrrrrrr}
1x_1 & - & 3x_2 & + & 5x_3 & = & 8\\
2x_1 & - & 5x_2 & + & 9x_3 & = &17 \\
-1x_1 & + & 5x_2 & - & 4x_3 & = & 0
\end{array}\] ist ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen
und 3 Variablen.
Eine Lösung ist \[\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
7\\3\\2
\end{pmatrix}\, .\]
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