Lagebeziehung zwischen Ebenen
Es gibt drei Fälle von Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen.
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Angenommen zwei Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) sind in Koordinatenform gegeben.
Dann muss jeder gemeinsame Punkt \((x_1,x_2,x_3)\) beide Koordinatengleichungen erfüllen; das liefert ein LGS der Form
s \[\begin{aligned} a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3 & =d\\ b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3 & =e\, . \end{aligned}\] Es gibt drei Fälle:
das LGS hat keine Lösung: dann haben \(E_1\) und \(E_2\) keinen gemeinsamen Punkt (und sind parallel).
das LGS ist lösbar, wobei die beiden Gleichungen keine Vielfachen voneinander sind: dann schneiden sich die Ebenen in einer Geraden, welche die Lösungsmenge des LGS ist.
LGS ist lösbar, wobei die beiden Gleichungen Vielfache voneinander sind: dann sind die Ebenen identisch.
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