Definition von Geraden und Lagebeziehungen erkennen.
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Geraden darstellen
Idee: Eine Gerade ist eindeutig festgelegt, wenn wir
einen Punkt und die Richtung der Geraden kennen.
Definition 1. Jede Gerade im \(\mathbb{R}^2\) und \(\mathbb{R}^3\) lässt sich in der folgenden
Form schreiben:
\[g=\left\{\mathbf{p}+\lambda
\mathbf{a}:\ \lambda\in\mathbb{R}\right\} = \mathbf{p} +
\text{Span}(\mathbf{a}),\] wobei die Punkte auf \(g\) durch ihre Ortsvektoren identifiziert
werden. Diese Darstellung heißt Parameterform. Dabei
repräsentiert \(\mathbf{p}\) einen
beliebigen Punkt auf \(g\) und \(\mathbf{a}\) beschreibt die Richtung der
Geraden.
Beispiel 2. Die Gerade \(g\), welche durch die Punkte \[A:=(0,1,2) \quad \text{und} \quad
B:=(-2,7,10)\] verläuft, hat die Parameterdarstellung \[g= \left\{\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} +
\lambda \begin{pmatrix}-2-0\\7-1\\10-2\end{pmatrix}: ~ \lambda \in
\mathbb{R}\right\}.\]
Lagebeziehungen für Geraden
erkennen
Zwei Geraden \(g_1\) und \(g_2\) seien durch Parameterdarstellungen
gegeben:
\[\begin{aligned}
g_1 & = \{ \mathbf{p}_1 + \lambda_1 \mathbf{r}_1:~
\lambda_1\in\mathbb{R} \} \, ,\\
g_2 & = \{ \mathbf{p}_2 + \lambda_2 \mathbf{r}_2:~
\lambda_2\in\mathbb{R} \} \, .
\end{aligned}\] Um die Lagebeziehung zu bestimmen, kann
man beide Darstellungen gleichsetzen und das resultierende LGS (mit
Variablen \(\lambda_1,\lambda_2\))
lösen:
\[\mathbf{p}_1 + \lambda_1 \mathbf{r}_1 =
\mathbf{p}_2 + \lambda_2 \mathbf{r}_2\] Es gibt vier Fälle:
unendlich viele Lösungen |
die Geraden sind identisch |
keine Lösung \((\lambda_1,\lambda_2)\) & \(\mathbf{r}_1\) und \(\mathbf{r}_2\) sind Vielfache
voneinander |
die Geraden sind parallel, aber nicht
identisch |
keine Lösung \((\lambda_1,\lambda_2)\) & \(\mathbf{r}_1\) und \(\mathbf{r}_2\) sind keine Vielfache |
die Geraden sind windschief |
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