Lagebeziehung: Gerade und Ebene
Wir untersuchen drei Möglichkeiten wie eine Gerade zu einer Ebene verlaufen kann.
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Angenommen eine Gerade \(g\) ist in Parameterform
\[g=\left\{\mathbf{p} + \lambda \mathbf{a}:\ \lambda\in\mathbb{R} \right\}\] gegeben und eine Ebene \(E\) ist in Koordinatenform gegeben.
Dann kann man die 3 Komponenten des allgemeinen Vektors \(\mathbf{p} + \lambda \mathbf{a}\) der Geraden \(g\) in die Gleichung der Koordinatenform von \(E\) einsetzen. Das liefert eine Gleichung mit der Variablen \(\lambda\) und es gibt drei Fälle:
die Gleichung hat keine Lösung: dann haben \(g\) und \(E\) keinen gemeinsamen Punkt.
die Gleichung hat genau eine Lösung \(\lambda\): dann gibt es einen Schnittpunkt. Dessen Ortsvektor ergibt sich, wenn man die Lösung \(\lambda\) in den allgemeinen Vektor \(\mathbf{p} + \lambda \mathbf{a}\) einsetzt.
die Gleichung hat unendlich viele Lösungen: \(g\) ist in \(E\) enthalten.
Beispiel 1. Wir prüfen, ob die folgende Gerade \(g\) und die folgende Ebene \(E\) einen Schnittpunkt haben:
\[g=\left\{\begin{pmatrix} 2\\-3\\0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix}:\ \lambda\in\mathbb{R} \right\}\ \ \text{ und } \ \ E=\left\{\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3:\ 2x_1-x_2-2x_3=1 \right\}.\] Jeder Punkt auf \(g\) hat einen Ortsvektor der Form
\[\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\-3\\0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2+\lambda\\ -3 -2\lambda \\ 0 + \lambda \end{pmatrix}.\] Damit der entsprechende Punkt auch in \(E\) liegt, muss dieser die Gleichung \(2x_1-x_2-2x_3=1\) erfüllen ; also: \[2\cdot(2+\lambda)-(-3-2\lambda)-2\cdot(0+\lambda)=1.\] Die Gleichung hat genau eine Lösung, nämlich \(\lambda=-3\).
Also gibt es einen Schnittpunkt. Dessen Ortsvektor ist \[\begin{pmatrix} 2\\-3\\0 \end{pmatrix} + (-3) \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\3\\-3\end{pmatrix}.\] Also ist der Schnittpunkt \(S=(-1,3,-3)\).
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