Wir führen das Standardskalarprodukt ein und berechnen den Abstand und den Winkel zwischen zwei Vektoren.
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Voraussetzungen anzeigen
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Skalarprodukt,
Norm und Winkel
Definition 1. Es seien \[\mathbf{v}=\begin{pmatrix} v_1\\v_2\\ \vdots \\
v_n\end{pmatrix} \ \text{ und } \
\mathbf{w}=\begin{pmatrix} w_1\\w_2\\ \vdots \\
w_n\end{pmatrix}\] Vektoren im \(\mathbb{R}^n\). Dann definieren wir das
(Standard-)Skalarprodukt von
\(\mathbf{v}\) und \(\mathbf{w}\) wie folgt: \[\langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle := v_1w_1 +
v_2w_2 + \ldots + v_nw_n = \sum_{k=1}^n v_kw_k\ .\]
Insbesondere lässt sich die Länge \(\|\mathbf{v}\|\) von \(\mathbf{v}\) (auch Norm genannt) wie folgt
beschreiben:
\[\|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle
\mathbf{v},\mathbf{v} \rangle}\, .\]
Definition 2. Es seien \(\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbb{R}^n\),
\(\langle \cdot,\cdot \rangle\)
bezeichne das Standard-Skalarprodukt und
\(\|\cdot\|\) bezeichne die
Norm. Dann ist
\(\|\mathbf{v}\|\) die
Länge des Vektors \(\mathbf{v}\),
\(\|\mathbf{v}-\mathbf{w}\|\) der
Abstand der Punkte \(\mathbf{v}\) und \(\mathbf{w}\),
der Winkel \(\alpha\) zwischen \(\mathbf{v}\) und \(\mathbf{w}\) durch \(\cos(\alpha)
= \frac{\langle
\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle}{\|\mathbf{v}\|\cdot
\|\mathbf{w}\|}\) gegeben.
Beispiel 3. Gegeben seien \(\mathbf{v}:=\begin{pmatrix}
2\\1\end{pmatrix}\) und \(\mathbf{w}:=\begin{pmatrix}
1\\3\end{pmatrix}\).
Die Längen der beiden Vektoren sind
\[\|\mathbf{v}\| = \left\|\begin{pmatrix}
2\\1\end{pmatrix} \right\|= \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\] und
\[\|\mathbf{w}\| = \left\|\begin{pmatrix}
1\\3\end{pmatrix} \right\|= \sqrt{1^2 + 3^2} =
\sqrt{10.}\]
Da \[\langle
\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle = \langle \begin{pmatrix}
2\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\3\end{pmatrix}\rangle = 2\cdot 1 +
1\cdot 3 = 5,\] ist der Winkel zwischen \(\mathbf{v}\) und \(\mathbf{w}\) gegeben durch
\[\cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{5}\cdot
\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \sqrt{\frac{25}{50}} =
\frac{1}{\sqrt{2}}.\] Und somit ist \(\alpha = \frac{\pi}{4}\).
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