Matrizen
Wir führen eine Kurzschreibweise für lineare Gleichungssysteme ein und definieren grundlegende Operationen für Matrizen.
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Voraussetzungen anzeigen
| Konzept | Inhalt |
|---|---|
| Lineare Gleichungssysteme | Über den Zusammenhang zwischen Linearkombinationen von Vektoren und linearen Gleichungssystemen. |
Konsequenzen anzeigen
| Konzept | Inhalt |
|---|---|
| Lineare Funktionen | Wir untersuchen die Eigenschaften linearer Funktionen über die Deformation von Objekten. |
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LGS: Schreibfaulheit
\[\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n & = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n & = b_2\\ & \vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n & = b_m \end{aligned}\]
\[\Downarrow \text{umschreiben}\]
\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{pmatrix} \end{aligned}\]
Definition 1. Es seien \(m,n\in\mathbb{N}\). Dann wird
\[\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{pmatrix} ~~~ \text{ mit allen } a_{ij}\in\mathbb{R}\] reelle Matrix genannt. Die Menge aller solchen Matrizen wird mit \(\mathbb{R}^{m\times n}\) bezeichnet, wobei \(m\) heißt Zeilenzahl und \(n\) heißt Spaltenzahl der Matrix \(\mathbf{A}\).
Grundrechenarten
Die Addition, die Subtraktion und die (skalare) Multiplikation werden für Matrizen komponentenweise definiert, analog zu Vektoren.
Beispiel 2.
\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\)
\(5\cdot \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\cdot 1&5\cdot 2\\5\cdot 3&5\cdot 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5&10\\15&20\end{pmatrix}\)
Matrix-Vektor-Produkt
Definition 3. Eine Matrix \(\mathbf{A} = { \begin{pmatrix} \mid & & \mid \\ \mathbf{a}_1 & \ldots & \mathbf{a}_n\\ \mid & & \mid \end{pmatrix}} \in \mathbb{R}^{m\times n}\) und ein Vektor \(\mathbf{x}=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{n}\) seien gegeben. Dann wird das Matrix-Vektor-Produkt \(\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}\) wie folgt definiert:
\[\mathbf{A} \cdot \mathbf{x}:= \mathbf{a}_1x_1+\ldots+\mathbf{a}_nx_n\ .\]
Beispiel 4. \[\begin{aligned} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 1\\4 & 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\-1\\3 \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}\cdot 2 + \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} \cdot (-1) + \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} \cdot 3 = \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} \end{aligned}\]
\(\mathbf{A}\) muss so viele Spalten haben, wie der Vektor \(\mathbf{x}\) Komponenten hat.
Das Produkt \(\mathbf{Ax}\) ist eine Linearkombination aus den Spalten von \(\mathbf{A}\).
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