Begriff des Kreuzprodukts und wichtige Eigenschaften.
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Voraussetzungen anzeigen
Konzept |
Inhalt |
Orthogonalität |
Wann sind zwei Vektoren orthogonal oder nicht? |
Konsequenzen anzeigen
Definition 1. Es seien \(\mathbf{v}=\begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3
\end{pmatrix}\) und \(\mathbf{w}=\begin{pmatrix} w_1\\w_2\\
w_3\end{pmatrix}\) Vektoren im \(\mathbb{R}^3\). Dann definieren wir das
Kreuzprodukt von \(\mathbf{v}\) und \(\mathbf{w}\) wie folgt:
\(\mathbf{v}\times \mathbf{w} :=
\begin{pmatrix}
v_2w_3-v_3w_2\\
v_3w_1-v_1w_3\\
v_1w_2-v_2w_1
\end{pmatrix} .\)
Mnemonic
\(\rightsquigarrow\) schreibe die
Vektoren nebeneinander und schreibe jeweils die ersten beiden
Komponenten noch einmal darunter
\(\rightsquigarrow\) streiche die erste
Zeile
\(\rightsquigarrow\) berechne die
Einträge von \(\mathbf{v}\times
\mathbf{w}\) über die eingezeichneten
\(\phantom{lalala}\) Kreuze:
\[\mathbf{v}\times \mathbf{w} =
\begin{pmatrix}
{\color{blue}v_2w_3-v_3w_2}\\
{\color{red}v_3w_1-v_1w_3}\\
{\color{green!40!black}v_1w_2-v_2w_1}
\end{pmatrix}\]
Wichtige Eigenschaften:
Das Kreuzprodukt ist nur auf \(\mathbb{R}^3\) definiert
Der Vektor \(\mathbf{v}\times
\mathbf{w}\) ist orthogonal zu \(\mathbf{v}\) und orthogonal zu \(\mathbf{w}\).
Das Parallelogramm, dessen Seiten durch \(\mathbf{v}\) und \(\mathbf{w}\) beschrieben werden, hat den
Flächeninhalt \(\| \mathbf{v} \times
\mathbf{w} \|\) .
Beispiel 2. \[\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}0\\3\\-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(-2)\cdot (-3) -
3\cdot 1\\1\cdot 0 - (-3)\cdot 3\\3\cdot 3 - 0 \cdot (-2)\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}3\\9\\9\end{pmatrix}\]
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