Zweite Ableitung und Konvexität/Konkavität
Charakterisierung von Konvexität/Konkavität über die zweite Ableitung.
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Zweite Ableitung und Konvexität/Konkavität
Definition 1. Für \(D\) Intervall, \(f: D\to\mathbb{R}\):
\(f\) konvex, falls für alle \(x_1,x_2\in D\) und \(\lambda \in (0,1)\): \[f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2).\]
\(f\) streng konvex, falls \(<\) anstatt \(\leq\).
\(f\) (streng) konkav, falls \(-f\) (streng) konvex, also \(\geq\) (\(>\)) anstatt \(\leq\) (\(<\)).
Für \(f\) zweimal differenzierbar:
\(f''(x)\geq 0\) für alle \(x\in D\) \(\iff\) \(f\) konvex.
\(f''(x)>0\) für alle \(x\in D\) \(\ \implies\) \(f\) streng konvex.
\(f''(x)\leq 0\) für alle \(x\in D\) \(\iff\) \(f\) konkav.
\(f''(x)<0\) für alle \(x\in D\) \(\ \implies\) \(f\) streng konkav.
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