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Voraussetzungen anzeigen
| Konzept |
Inhalt |
| Ableitungen |
Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln. |
| Integral |
Einige Eigenschaften von Integralen |
Konsequenzen anzeigen
Stammfunktionen
Definition 1. Für \(I\subseteq\mathbb{R}\) Intervall und \(f: I\to\mathbb{R}\), ist die Funktion \(F: I\to\mathbb{R}\) eine
Stammfunktion von \(f\), falls \(F\) differenzierbar ist und \(F'=f\).
Beispiel 2. Sei \(f:
[0,1]\to\mathbb{R}\), \(f(x):=2x\). Dann ist \(F: [0,1]\to\mathbb{R}\), \(F(x):=x^2\) ist eine Stammfunktion von
\(f\).
Mit \(F\) ist auch \(F+c\) für jedes \(c\in\mathbb{R}\) eine Stammfunktion von
\(f\).
Stammfunktionen sind bis auf Konstanten eindeutig.
Stammfunktionen bilden ist Umkehrung vom Ableiten.
Ist \(F\) eine Stammfunktion von
\(f\), dann gilt \[\int_a^b f(t)\,\mathrm{d} t =
F(b)-F(a)=:F(x)\bigr|_{x=a}^b.\]
Somit: Die Berechnung von Integralen reduziert sich
auf die Berechnung von Stammfunktionen (also unbestimmten Integralen)
und deren Auswertung an den Integralgrenzen.
Bestimmung
von Stammfunktionen
Differenzieren ist Handwerk, integrieren ist Kunst.
| \(x^{\alpha}\) |
\(\alpha
x^{\alpha - 1}\) |
| \(\mathrm{e}^x\) |
\(\mathrm{e}^x\) |
| \(\ln
|x|\) |
\(\frac{1}{x}\) |
| \(\sin(x)\) |
\(\cos(x)\) |
| \(\cos(x)\) |
\(-\sin(x)\) |
| \(\int
f(x)\,\mathrm{d} x + c\) |
\(f(x)\) |
Linearität \[\int
\alpha f(x) + \beta g(x)\,\mathrm{d} x = \alpha \int f(x)\,\mathrm{d} x
+ \beta \int g(x)\,\mathrm{d} x\]
Produkte partielle Integration \[\int f(x)g'(x)\,\mathrm{d} x = f(x) g(x) -
\int f'(x) g(x)\,\mathrm{d} x\]
(Spezielle) Quotienten:
Partialbruchzerlegung
(Spezielle) Verkettungen: Substitution \[\int f(g(x)) g'(x)\,\mathrm{d} x = F(g(x)) +
c\qquad\qquad\]
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